Resumen General de Estadística y Probabilidades

Resumen General de Estadística y Probabilidades

La estadística es una rama de las matemáticas que estudia el comportamiento de los fenómenos de conjuntos, y el instrumento que usa la Estadística es el cálculo de probabilidades. Todo fenómeno que por naturaleza es impredecible se conoce como experimento aleatorio.

Se define Población al conjunto de elementos sobre los cuales se desea realizar un estudio y a la selección de la población  para realizar la representación de un fenómeno se denomina Muestra.

La Variable estadística es cada una de las características que miden la población o muestra seleccionada su representación en símbolo es una “X”, se distinguen dos tipos de variable: la cuantitativa  y la cualitativa; y la cuantitativa está representada por valores numéricos (racionales) o diagramas al contrario la cualitativa no puede estar representada por valores numéricos ni por diagramas. Se llama Discreta la variable numérica que expresa cada valor de la variable entero. Ejemplo Hijos de un conjunto de matrimonio. Se llama Continua la variable numérica que expresa cada valor de la variable real. Ejemplo Peso de los socios de un club. Se llama dato a cada uno de los valores que toma una variable. Y se denomina Rango a la diferencia entre el dato de mayor valor y del menor cuando existe una variable cuantitativa.

La ordenación y distribución de datos consiste en ordenar de manera descendiente o ascendente los valores de una variable. Cuando se considera el conjunto de individuos que tienen el mismo dato se denomina clase. El número que indica la cantidad de veces que se repite un dato se denomina frecuencia absoluta (f), cuando se suma sucesivamente las frecuencias correspondientes a cada clase, obtenemos la frecuencia acumulada (fa), cuando se agrupan varias clases cada agrupación se denomina intervalo de clase, al menos valor del intervalo se le llama límite inferior (li) al mayor valor del intervalo se le denomina límite superior (ls). La diferencia entre el límite superior y el límite inferior más una unidad se denomina amplitud del intervalo (e)

Las medidas de tendencia central se denominan al conjunto de valores que se ubican en el centro de una distribución ordenada y proporcionan una visión resumida de los numerosos datos. Son la media aritmética, la mediana y la moda.

Se denomina suceso o evento al resultado posible de un experimento o espacio muestral. Los experimentos no aleatorios o determinísticos se denominan cuando se puede predecir el resultado de un conjunto de experimentos al contrario cuando no se puede predecir el resultado de un conjunto de experimentos se denominan aleatorios. El espacio muestral (Em) comprende todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Los eventos incompatibles son aquellos que no se pueden presentar simultáneamente. Ejemplo cuando lanzamos al aire una moneda no sabemos que saldrá si cara o sello.

Las medidas de dispersión moda , mediana , media

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la mediana media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la mediana media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (Varianza)

MEDIA

Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de calcular, debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan para el manejo algebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja radica en su sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado grandes o pequeños. La media se define como la suma de todos los valores observados, dividido por el número total de observaciones.

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Cuando los valores representan una población la ecuación se define como:

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Donde (m) representa la media, (N) representa el tamaño de la población y (Xi) representa cada uno de los valores de la población. Ya que en la mayoría de los casos se trabajan con muestras de la población todas las ecuaciones que se presenten a continuación serán representativas para las muestras. La media aritmética para una muestra esta determinada como

Ecuación 5-3

Donde (X) representa la Media para la muestra, (n) el tamaño de la muestra y (Xi) representa cada uno de los valores observados. Esta fórmula únicamente es aplicable si los datos se encuentran desagrupados; en caso contrario debemos calcular la media mediante la multiplicación de los diferentes valores por la frecuencia con que se encuentren dentro de la información; es decir,

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Donde (Yi) representa el punto medio de cada observación, (ni) es la frecuencia o número de observaciones en cada clase y (n) es el tamaño de la muestra siendo igual a la suma de las frecuencias de cada clase.

Para entender mejor este concepto vamos a suponer que hemos tomado la edad de 5 personas al azar cuyos resultados fueron (22, 33, 35, 38 y 41). Para facilitar su interpretación se han generado tres rangos de edad los cuales se han establecido de 21 a 30 años, de 31 a 40 años y de 41 a 50 años. Si nos fijamos en estos rangos notaremos que los puntos medios son 25, 35 y 45 respectivamente. Los resultados de la organización de estos datos se representan en la tabla [5-1].

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Si aplicamos la fórmula para valores agrupados obtendríamos que la media es igual a

Lo que nos indicaría que el promedio de edad de los encuestados es de 35 años. Si ha estos mismos resultados le aplicamos la ecuación para datos desagrupados (Ecuación 5-3), tomando como referencia cada uno de los valores individuales, obtendríamos que la media es igual a

Lo que nos indicaría que el promedio de edad para los datos desagrupados es de 34 años aproximadamente. Esta diferencia se debe a que al agrupar los datos se pierde parcialmente la exactitud de los cálculos, principalmente al aumentar el número de datos. Para evitar estos inconvenientes, SPSS nos permite calcular las Medias, como si se trataran de valores desagrupados, aunque tiene algunos procedimientos para valores agrupados.

Es importante resaltar que existe una gran variedad de medias como la Media geométrica, la Media ponderada, la Media cuadrática, etc. Por el momento sólo hacemos énfasis en la media aritmética ya que es la más utilizada, aunque se recomienda a los lectores profundizar en estos temas.

 

2. MEDIANA

Con esta medida podemos identificar el valor que se encuentra en el centro de los datos, es decir, nos permite conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad del conjunto de datos después que las observaciones se han ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad por encima del mismo. Para determinar la posición de la mediana se utiliza la fórmula

Ecuación 5-5

Para comprender este concepto vamos a suponer que tenemos la serie ordenada de valores (2, 5, 8, 10 y 13), la posición de la mediana sería:

Lo que nos indica que el valor de la mediana corresponde a la tercera posición de la serie, que equivale al número (8). Si por el contrario contamos con un conjunto de datos que contiene un número par de observaciones, es necesario promediar los dos valores medios de la serie. Si en el ejemplo anterior le anexamos el valor 15, tendríamos la serie ordenada (2, 5, 8, 10, 13 y 15) y la posición de la mediana sería,

Es decir, la posición tres y medio. Dado que es imposible destacar la posición tres y medio, es necesario promediar los dos valores de la posiciones tercera y cuarta para producir una mediana equivalente, que para el caso corresponden a  (8 + 10)/2 =9. Lo que nos indicaría que la mitad de los valores se encuentra por debajo del valor 9 y la otra mitad se encuentra por encima de este valor.

En conclusión la mediana nos indica el valor que separa los datos en dos fracciones iguales con el cincuenta porciento de los datos cada una. Para las muestras que cuentan con un número impar de observaciones o datos, la mediana dará como resultado una de las posiciones de la serie ordenada; mientras que para las muestras con un número par de observaciones se debe promediar los valores de las dos posiciones centrales.

  

3. MODA

La medida modal nos indica el valor que más veces se repite dentro de los datos; es decir, si tenemos la serie ordenada (2, 2, 5 y 7), el valor que más veces se repite es el número 2 quien seria la moda de los datos. Es posible que en algunas ocasiones se presente dos valores con la mayor frecuencia, lo cual se denomina Bimodal o en otros casos más de dos valores, lo que se conoce como multimodal.

En conclusión las Medidas de tendencia central, nos permiten identificar los valores más representativos de los datos, de acuerdo a la manera como se tienden a concentrar. La Media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en partes iguales. La Mediana por el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las cuales cuenta con el cincuenta porciento de los datos. Por último la Moda nos indica el valor que más se repite dentro de los datos.

 

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